推广的积分中值定理公式证明，积分中值定理的证明与推广

投稿用户 • 2022年9月16日 am9:11 • 加粉方法 • 阅读 376

最难的函数往往是那些你说不出表达式的抽象函数，或是隐函数。可在考试中，中值定理的题还就是只告诉你f(a)=0，f(b)=1，然后出题老师阴鸷的一笑，笔下抛出什么样的难题都有可能。当然，有些题就算把表达式告诉你，具体怎么凑出中值定理的形式也不容易。今天，我们就和中值定理做一个了结，把常见的出题点做个系统总结。

话不多说，我们先上道考研真题试试手。

第一反应是不是这题跟中值定理有啥关系！？

我们心里过不去的那道坎就是这个x是趋于无穷的，而不是某个数。那怎么办？如果忍不住想换元，那就中招了。这道题的正解是：

然后，利用一步夹逼定理，就能得出这道题的答案——1。

做完这道题，不知道大家作何感想。是不是觉得老师有点不讲武德，不在中值定理本身上下功夫，而是使用障眼法，让我们无从下手。没错，中值定理难就难在这了。它涉及的概念很多，有导数，有极限，甚至还可能在函数上做手脚。试问，哪个概念不够我们研究半天，更不用说把他们混合在一起了。

下面这道题难度不小：

咋是二阶导数？！！

这道题，就是在函数层面上动手脚了。我相信你很清楚中值定理的公式，可怎么就是得不上劲！！

最难的居然是函数技巧——添项

如果你能想到在式子中加一项，减一项f'(x)，那这道题就能迎刃而解。

最后，我们今天的主角要神采奕奕的闪亮登场了——微分方程！

晕！！微分方程的通项公式我记着都费劲，咋它还要和中值定理搭帮过日子！！

我们来研究下，其实这类问题还是有方法可解的。

点到为止！这题不难

记住，这种题的关键就是——求积分。然后把积分来的原函数用一步罗尔定理，我们就能得到自己想要的式子了。

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